Józef Kwiatek urodził się 22 stycznia 1874 roku w Płocku, w wielodzietnej rodzinie żydowskiej. Jego ojciec Fiszel, syn Efroima Kwiatka (1792-1875) i Sury z Kaganów, handlował towarami kolonialnymi. Matką Józefa była Hinda z Prussaków. Józef miał sześcioro rodzeństwa – braci Symchę (ur. 1876), Efroima (ur. 1884) i Hersza (ur. 1868) oraz siostry Fajgę Ryfkę (ur. 1870), Ides (ur. 1863) i Nechę (ur. 1881) oraz dwójkę przyrodniego rodzeństwa – Izraela (ur. 1856) i Surę (ur. 1854).
W 1892 roku Józef ukończył Gimnazjum Gubernialne w Płocku. Następnie uczęszczał na Wydział Medyczny Cesarskiego Uniwersytetu Warszawskiego. Już na pierwszym roku został zmuszony do przerwania nauki – aresztowano go w kwietniu 1894 roku podczas manifestacji patriotycznej zwanej „kilińszczyzną”. Wypuszczony bez wyroku po upływie miesiąca, już 29 listopada 1894 roku został aresztowany ponownie, pod zarzutem tworzenia nielegalnej organizacji bezpłatnego nauczania, działającej zasadniczo wśród zasymilowanych Żydów. Tym razem Kwiatek przebywał w więzieniu przez pół roku, następnie pozostawał pod dozorem policyjnym do 1 maja 1896 roku. Jednocześnie został relegowany z uczelni i 6 maja 1896 roku skazany na dwa lata wygnania, które przypadały na okres służby wojskowej, część której, cztery miesiące, Kwiatek miał spędzić w batalionie dyscyplinarnym. Po odbyciu kary w Chersonie, w południowej Ukrainie, w izolowanej celi, Kwiatek został przydzielony do pułku karnego w Turkiestanie, po czym zwolniony kilka miesięcy przed terminem z powodu złego stanu zdrowia. Powrócił do Płocka wiosną 1898 roku. W tym samym roku podjął studia w Dorpacie, tym razem na wydziale prawnym. Jednocześnie działał w szeregach PPS oraz Kole Młodzieży Polskiej. W 1899 roku został wydalony z uniwersytetu na skutek udziału w zaburzeniach studenckich, lecz wkrótce został ponownie przyjęty. Ukończył studia w roku 1902, jednak władze nie pozwoliły mu zdawać egzaminu państwowego, wobec przyjęcia przez Kwiatka przewodnictwa delegacji, występującej z żądaniami politycznymi. W 1902 roku powrócił do rodzinnego miasta. Brał udział w VI Zjeździe PPS w Lublinie, gdzie wystąpił z wnioskiem o powołanie Komitetu Żydowskiego Polskiej Partii Socjalistycznej. Wkrótce wyjechał za granicę i tam przystąpił do ożywionej pracy w duchu programu PPS. Pracował w Berlinie, Katowicach i Krakowie. Był współpracownikiem „Gazety Robotniczej”, „Naprzodu” i „Przedświtu”. W „Przedświcie” umieścił szereg artykułów pod pseudonimem Flis. Drukował również w Krakowie w 1904 roku w cyklu wydawnictw „Latarni” broszurę „W kwestii żydowskiej” pod pseudonimem T. Wileński. W czerwcu 1903 roku został członkiem Komitetu Żydowskiego PPS. Wydawał pismo „Arbajter” – organ PPS w języku żydowskim.
Jesienią roku 1903 powrócił do Królestwa i objął stanowisko członka Centralnego Komitetu Robotniczego PPS (18 sierpnia 1904 roku). Był zarazem redaktorem czasopisma „Robotnik”. W listopadzie 1904 roku zorganizował pierwszą od 1863 roku manifestację zbrojną na placu Grzybowskim w Warszawie, skierowaną przeciwko poborowi do wojska rosyjskiego w związku z wojną z Japonią. W styczniu 1905 roku zorganizował wielki strajk powszechny, który przybrał charakter wystąpienia rewolucyjnego. W listopadzie 1905 roku sądzony przez sąd warszawski, po wyroku uniewinniającym, wyjechał za granicę. Po VIII Zjeździe PPS we Lwowie powrócił do Królestwa i brał udział w pracach warszawskiej organizacji PPS. W październiku 1906 roku został ponownie aresztowany. Tym razem otrzymał wyrok skazujący. Karę odbywał w Warszawie w więzieniu na Mokotowie, a następnie w Łomży. Więzienie odcisnęło piętno na jego zdrowiu – na początku 1908 roku opuścił je z gruźlicą krtani. Po uwolnieniu wyjechał za granicę. W Cieszynie, a następnie w Krakowie prowadził ożywioną działalność polityczną i kulturalną. Był przewodniczącym zjazdu polskiej młodzieży postępowej w Zurychu, pisywał do pism codziennych i miesięczników m. in. „Krytyka” i „Sfinks”, wygłaszał odczyty na tematy literackie, uczestniczył w wielu wiecach i zebraniach, zwłaszcza na Śląsku, pracował w Zarządzie Uniwersytetu Ludowego im. Adama Mickiewicza, organizował Wydział Oświatowy Polskiej Partii Socjalno-Demokratycznej Galicji i Śląska Cieszyńskiego, nie oszczędzając zarazem swojego kruchego zdrowia. Dopiero u kresu życia poddał się leczeniu – początkowo w Zakopanem, z początkiem 1910 roku w Meranie. Dowiedziawszy się o nieuleczalnej chorobie, powrócił do Krakowa z zamiarem popełnienia samobójstwa – nie chciał bowiem umierać, będąc ciężarem dla innych. 20 stycznia 1910 roku odebrał sobie życie w hotelu „Pod Różą” wystrzałem z rewolweru. Jego pogrzeb odbył się 23 stycznia na cmentarzu żydowskim, stając się zarazem wielką manifestacją. Na czele Komitetu uczczenia pamięci Józefa Kwiatka stanął Bolesław Limanowski. Zebrane środki pozwoliły na ufundowanie grobowca z pamiątkową inskrypcją oraz założenie ruchomej biblioteki im. Kwiatka.
W 1930 roku Kwiatek został pośmiertnie odznaczony Krzyżem Niepodległości z Mieczami. W 1935 roku obchodzono uroczyście 25-lecie jego śmierci – w rodzinnym mieście postanowiono wmurować pamiątkową tablicę na ścianie domu, w którym się urodził, a ulicę Szeroką, przy której spędził dzieciństwo – przemianować na ulicę Józefa Kwiatka.